Les composantes Symétriques
Par F. ADDA

f.adda@free.fr http://f.adda.free.fr/ipst/

IPST / CNAM de Marseille
D.E.S.T. Electrotechnique

 
 
 

Les composantes symétriques permettent surtout d?étudier le fonctionnement d?un réseau polyphasé de constitution symétrique lorsque l?on branche en un de ses points un récepteur déséquilibré. Soit parce qu?il s?agit effectivement d?une charge non équilibrée soit plus fréquemment lorsque se produit un court circuit.

Condition d?emploi des composantes symétriques :

L?utilisation des composantes symétriques à un système récepteur/générateur exige que l?on puisse pratiquer le principe de superposition, c'est à dire que les relations doivent être linéaires (R=cte, L=Cte ) ce qui signifie absence de saturation et de distorsion.

Pour étudier dans ces conditions le fonctionnement d?un réseau soumis à un système de courants déséquilibrés, il suffit de connaître son comportement devant chacun des systèmes composants pris isolement.
 
 
 
 

A l?attention des lecteurs :

Une bonne connaissance du calcul matriciel ainsi que la maîtrise des nombres complexes facilitent grandement la lecture de ce cours.
 
 

Convention d?écriture :

sera noté V1,2,3 de même  sera noté Vo,d,i
 
 
 
 

I Principe

La méthode des composantes symétriques consiste à substituer à un système initial déséquilibré de " q " grandeurs complexes quelconque un système de " q " grandeurs génératrices, permettant de définir " q " systèmes symétriques.

La transformation est assurée par un opérateur matriciel complexe appelé matrice de Fortescue noté [Fq], dont les coefficients sont formés à partir de la résolution l?équation complexe .

Cette équation peut s?écrire :



II Application au système triphasé

Rappel

Dans le cas d?un système triphasé direct.
 
En prenant le vecteur V1 comme origine il vient alors.

Dans un système équilibré direct

Soit un système triphasé ( q=3) déséquilibré de grandeurs sinusoïdales, de tensions simples V1, V2, V3. On peut donc considérer ce système déséquilibré comme la superposition de 3 systèmes équilibrés :

Le théorème de décomposition de Fortescue s?énonce ainsi :

Un système de 3 grandeurs complexes V1,V2,V3 se décompose en 3 systèmes symétriques.

- Un système homopolaire (défini par Vo) constitué de 3 grandeurs ayant le même module le même argument.

Les vecteurs Vo, Vd et Vi sont appelés composantes ou coordonnées symétriques du système de vecteurs V1,V2,V3.

Les coefficients de la matrice de Fortescue sont alors formées par la résolution de l?équation .

On a alors

D?où  avec 

On définit la matrice de Fortescue F3 ainsi  et son inverse 

Il suffira alors de multiplier par F3 les composantes réelles du système triphasé pour obtenir les composantes symétriques et de multiplier les composantes symétriques par F3-1 pour revenir au système réel.

Transformation de Fortescue
Transformation inverse

Représentation graphique de la transformation de Fortescue et de son inverse, sur un système de courants triphasés.


 
 

III Schéma équivalent

Pour utiliser les composantes on résonne sur le schéma équivalent monophasé, correspondant aux 3 systèmes (Homopolaire, direct, inverse) du générateur triphasé supposé également symétrique.

Chaque phase est caractérisée par son impédance propre Z et par les impédance mutuelles Z?, Z?? relative respectivement à la phase précédente et à la phase suivante.

Le système générateur peut s?écrire alors :
 
Ou bien matriciellement

D?après les conventions adoptées au début nous écrirons par la suite:
 
Nous avons démontré au chapitre précédent que :


 

que l?on note  de la même manière on peut donc écrire 

D?où


 

 
Schéma équivalent 
Conclusion


 

IV Conduite des calculs

Enfin après toute cette mise au point nous allons aborder la partie la plus intéressante des composantes symétriques, le calcul de courant de court circuit.

  1. Charge équilibrée ( pas de défaut dans le système)
Avec Zog,Zdg,Zig impédances symétriques du générateur et Zoc,Zdc,Zic impédances symétriques de la charge.
Aux bornes de la charge nous pouvons écrire :

 
  1. Apparition du défaut
Schéma équivalent avec défaut
Calcul des tensions symétriques
Calcul de Vo

Calcul de Vi

Calcul de Vd


 

V Application

Une ligne triphasée est alimentée par un transformateur dont le secondaire est monté en étoile avec le neutre relié à la terre. Le système de tensions fourni par le transformateur est un réseau symétrique direct.

La tension simple entre phase et neutre est 220V. Les impédances directe, inverse et homopolaire de l?ensemble ligne + transformateur ont pour valeur :

Ce dispositif alimente un récepteur triphasé monté en étoile ayant pour chaque phase les impédance suivantes :

Calculs des impédances homopolaire, directe et inverse du récepteur.


 
D?après l?énoncé on a Z?=Z?? et comme
on a alors

D?où 

Calculs des courants de lignes .


 
Le système étant directe et sans défaut on utilise les relations ci-contre
L?absence de défaut entraîne qu?il n?existe pas de courant homopolaire et inverse.

Calculs des tensions simples.


 
Aux bornes de la charge on a :
D?où 

 

Voilà pour le système lorsqu?il est équilibré. Maintenant que vous êtes chaud passons à l?étude du même système mais cette fois on ajoute une charge d?impédance  entre la phase 1 et la terre.

Calculs des nouvelles tensions simples


 
L?apparition de Z1 entraîne que le système n?est plus équilibré. On va donc utiliser les relations ci-contre
Ce qui donne puisque toutes les impédances sont connues :
D?autre part

Et

Calcul de V1c
Calcul de V2c
Calcul de V3c

Calculs des nouveaux courants de lignes


 
En se référant aux schémas équivalent lors d?un défaut on a : 
Calcul de Io
Calcul de Id
De la même manière on trouve :

Calcul de Ii
Il ne reste plus qu?a appliquer la transformation de Fortescue.